Add dyadic rational

Author: hitonanode

number/dyadic_rational.hpp

@@ -0,0 +1,95 @@
+#include <cassert>
+#include <limits>
+#include <type_traits>
+
+// Dyadic rational, surreal numbers （超現実数）
+// https://atcoder.jp/contests/abc229/submissions/28887690
+template <class Int, class Uint = unsigned long long> struct DyadicRational {
+    Int integ; // 整数部分
+    Uint frac; // 小数部分の分子
+
+    static constexpr int FracLen = std::numeric_limits<Uint>::digits - 1; // 2^63
+    static constexpr Uint denom = Uint(1) << FracLen;                     // 小数部分の分母
+
+    DyadicRational(Int x = 0) : integ(x), frac(0) {
+        static_assert(
+            0 < FracLen and FracLen < std::numeric_limits<Uint>::digits, "FracLen value error");
+        static_assert(std::is_signed<Int>::value == true, "Int must be signed");
+    }
+    static DyadicRational _construct(Int x, Uint frac_) {
+        DyadicRational ret(x);
+        ret.frac = frac_;
+        return ret;
+    }
+    double to_double() const { return integ + double(frac) / denom; }
+
+    // static DyadicRational from_rational(Int num, int lg_den);
+    bool operator==(const DyadicRational &r) const { return integ == r.integ and frac == r.frac; }
+    bool operator!=(const DyadicRational &r) const { return integ != r.integ or frac != r.frac; }
+    bool operator<(const DyadicRational &r) const {
+        return integ != r.integ ? integ < r.integ : frac < r.frac;
+    }
+    bool operator<=(const DyadicRational &r) const { return (*this == r) or (*this < r); }
+    bool operator>(const DyadicRational &r) const { return r < *this; }
+    bool operator>=(const DyadicRational &r) const { return r <= *this; }
+
+    DyadicRational operator+(const DyadicRational &r) const {
+        auto i = integ + r.integ;
+        auto f = frac + r.frac;
+        if (f >= denom) ++i, f -= denom; // overflow
+        return DyadicRational::_construct(i, f);
+    }
+    DyadicRational operator-(const DyadicRational &r) const {
+        auto i = integ - r.integ;
+        auto f = frac - r.frac;
+        if (f > denom) --i, f += denom; // overflow
+        return DyadicRational::_construct(i, f);
+    }
+    DyadicRational operator-() const { return DyadicRational() - *this; }
+    DyadicRational &operator+=(const DyadicRational &r) { return *this = *this + r; }
+
+    DyadicRational right() const {
+        if (frac == 0) {
+            if (integ >= 0) {
+                return DyadicRational(integ + 1);
+            } else {
+                return DyadicRational::_construct(integ, Uint(1) << (FracLen - 1));
+            }
+        }
+        int d = __builtin_ctzll(frac);
+        return DyadicRational::_construct(integ, frac ^ (Uint(1) << (d - 1)));
+    }
+    DyadicRational left() const {
+        if (frac == 0) {
+            if (integ <= 0) {
+                return DyadicRational(integ - 1);
+            } else {
+                return DyadicRational::_construct(integ - 1, Uint(1) << (FracLen - 1));
+            }
+        }
+        int d = __builtin_ctzll(frac);
+        return DyadicRational::_construct(integ, frac ^ (Uint(3) << (d - 1)));
+    }
+
+    // Surreal number { l | r }
+    static DyadicRational surreal(const DyadicRational &l, const DyadicRational &r) {
+        assert(l < r);
+        DyadicRational x(0);
+        if (l.integ > 0) x = DyadicRational(l.integ);
+        if (r.integ < 0) x = DyadicRational(r.integ);
+        while (true) {
+            if (x <= l) {
+                x = x.right();
+            } else if (x >= r) {
+                x = x.left();
+            } else {
+                break;
+            }
+        }
+        return x;
+    }
+    template <class OStream> friend OStream &operator<<(OStream &os, const DyadicRational &x) {
+        return os << x.to_double();
+    }
+};
+// using dyrational = DyadicRational<long long>;

number/dyadic_rational.md

@@ -0,0 +1,47 @@
+---
+title: Dyadic rational, surreal number （二進分数・固定小数点数，Conway の構成）
+documentation_of: ./dyadic_rational.hpp
+---
+
+分母が二冪の有理数 `DyadicRational<Int, Uint = unsigned long long>` の実装，また超現実数の構成法に基づく $\\{ l \mid r \\}$ の計算．組合せゲーム理論などへの応用がある．
+
+`Int` が整数部分を表すための符号付整数型で `int` や `long long` の利用を想定，`Uint` が小数部分を表すための符号なし整数型で `unsigned` や `unsigned long long` の利用を想定（`__uint128_t` も動くかもしれない）．メンバ変数 `integ`, `frac` がそれぞれ整数部分と小数部分に対応し，
+$$
+x = \mathrm{integ} + \frac{\mathrm{frac}}{2^\mathrm{FracLen}}
+$$
+がこのクラスのインスタンスが表す有理数 $x$ である．
+実装の制約上分母のオーダーは（`Uint = unsigned long long` の場合）$2^{63}$ が上限となる．
+
+## 使用方法
+
+### `DyadicRational<Int>(Int x)`
+
+コンストラクタ．整数 `x` に対応する元を生成する．
+
+### `double to_double()`
+
+インスタンスが表す有理数 $x$ を `double` 型に変換．
+
+### `DyadicRational<Int> right()`
+
+[Surreal number （超現実数）の構成過程を表す木](https://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number#/media/File:Surreal_number_tree.svg) において，現在の値 $x$ の右側の子の値を返す．
+
+### `DyadicRational<Int> left()`
+
+`right()` とは逆に，現在の値 $x$ の左側の子の値を返す．
+
+### `DyadicRational<Int> DyadicRational<Int>::surreal(DyadicRational<Int> l, DyadicRational<Int> r)`
+
+$l < r$ を満たす二進分数 $l$, $r$ について，$l < x < r$ を満たし surreal number の構成過程を表す木で根（$0$）に最も近い要素（Conway の記法に基づくと $\\{ l \mid r \\}$）の値を返す．$l < r$ を満たさない場合 runtime error となる．
+
+現在は根から一歩ずつ `right()` または `left()` で探索していく実装になっているが，場合分けと bit 演算を頑張れば $O(1)$ になると思われる．
+
+## 問題例
+
+- [AtCoder Beginner Contest 229 H - Advance or Eat](https://atcoder.jp/contests/abc229/tasks/abc229_h)
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+### リンク
+
+- [組合せゲーム理論入門(1)](http://www.ivis.co.jp/text/20111102.pdf) 組合せゲーム理論の観点からの解説．
+- [解説 - NECプログラミングコンテスト2021(AtCoder Beginner Contest 229)](https://atcoder.jp/contests/abc229/editorial/2977) 非不偏ゲーム（Partisan Game）の問題例とその解き方．
+  - [提出 #27486895 - NECプログラミングコンテスト2021(AtCoder Beginner Contest 229)](https://atcoder.jp/contests/abc229/submissions/27486895) Nyaan さんの実装．